神经网络反向传播的数学原理">神经网络反向传播的数学原理

雷锋网按:本文原作者李飞腾,本文整理自知乎专栏——数字编程。雷锋网 (公众号:雷锋网) 已获得转载授权。

如果能二秒内在脑袋里解出下面的问题,本文便结束了。

已知: ,其中

求:

到这里,请耐心看完下面的公式推导,无需长久心里建设。

首先,反向传播的数学原理是 “ 求导的链式法则 ” :

设 和 为 的可导函数,则

接下来介绍

  • 矩阵、向量求导的维数相容原则

  • 利用维数相容原则快速推导反向传播

  • 编程实现前向传播、反向传播

  • 卷积神经网络的反向传播

快速矩阵、向量求导

这一节展示如何使用链式法则、转置、组合等技巧来快速完成对矩阵、向量的求导

一个原则 维数相容 ,实质是 多元微分 基本知识,没有在课本中找到下列内容, 维数相容原则 是我个人总结:

维数相容原则:通过 前后换序、转置 使求导结果满足矩阵乘法且结果维数满足下式:

如果 ,那么

利用维数相容原则解上例:

step1:把所有参数当做实数来求导,

依据链式法则有

可以看出除了 的求导结果在维数上连矩阵乘法都不能满足。

step2:根据 step1 的求导结果,依据 维数相容原则 做调整: 前后换序、转置

依据维数相容原则 ,但 ,自然得调整为

同理: ,但 ,那么通过 换序、转置 我们可以得到维数相容的结果

对于矩阵、向量求导:

  • “当做一维实数使用链式法则求导,然后做 维数相容 调整,使之符合矩阵乘法原则且维数相容” 是快速准确的策略;

  • “对单个元素求导、再整理成矩阵形式” 这种方式整理是困难的、过程是缓慢的,结果是易出错的(不信你试试)。

如何证明经过维数相容原则调整后的结果是正确的呢?直觉!简单就是美...

快速反向传播

神经网络的 反向传播 求得 “各层” 参数 和 的导数,使用梯度下降(一阶 GD、SGD,二阶 LBFGS、共轭梯度等)优化目标函数。

接下来,展示不使用下标的记法( , or )直接对 和 求导 ,反向传播是 链式法则维数相容原则 的完美体现,对每一层参数的求导利用上一层的中间结果完成。

这里的标号,参考 UFLDL 教程 - Ufldl

前向传播:

(公式 1)

(公式 2)

为第 层的中间结果, 为第 层的激活值,其中第 层包含元素:输入 ,参数 ,激活函数 ,中间结果 ,输出

设神经网络的损失函数为 (这里不给出具体公式,可以是交叉熵、MSE 等),根据 链式法则 有:

这里记 ,其中 可由 公式 1 得出, 加转置符号 是根据 维数相容原则 作出的调整。

如何求 ? 可使用如下递推(需根据 维数相容原则 作出调整):

其中

那么我们可以从最顶层逐层往下,便可以递推求得每一层的

注意: 是逐维求导,在公式中是点乘的形式。

反向传播整个流程如下:

1) 进行前向传播计算,利用前向传播公式,得到隐藏层和输出层 的激活值。

2) 对输出层 (第 层),计算残差:

(不同损失函数,结果不同,这里不给出具体形式)

3) 对于 的隐藏层,计算:

4) 计算各层参数 偏导数:

编程实现

大部分开源 library(如:caffe,Kaldi/src/{nnet1,nnet2})的实现通常把 作为一个 layer,激活函数 作为一个 layer(如:sigmoid、relu、softplus、softmax)。

反向传播时分清楚该层的输入、输出即能正确编程实现, 如:

(公式 1)

(公式 2)

(1) 式 AffineTransform/FullConnected 层,以下是伪代码:

注: out_diff = 是上一层(Softmax 或 Sigmoid/ReLU 的 in_diff)已经求得:

(公式 1-1)

(公式 1-2)

(公式 1-3)

(2) 式激活函数层(以 Sigmoid 为例)

注:out_diff = 是上一层 AffineTransform 的 in_diff ,已经求得,

在实际编程实现时,in、out 可能是矩阵 (通常以一行存储一个输入向量,矩阵的行数就是 batch_size),那么上面的 C++ 代码就要做出变化(改变前后顺序、转置,把函数参数的 Vector 换成 Matrix,此时 Matrix out_diff 每一行就要存储对应一个 Vector 的 diff,在 update 的时候要做这个 batch 的加和,这个加和可以通过矩阵相乘 out_diff*input(适当的转置)得到。

如果熟悉 SVD 分解的过程,通过 SVD 逆过程就可以轻松理解这种通过乘积来做加和的技巧。

丢掉那些下标记法吧!

卷积层求导

卷积怎么求导呢?实际上卷积可以通过矩阵乘法来实现(是否旋转无所谓的,对称处理,caffe 里面是不是有 image2col),当然也可以使用 FFT 在频率域做加法。

那么既然通过矩阵乘法, 维数相容原则 仍然可以运用,CNN 求导比 DNN 复杂一些,要做些累加的操作。具体怎么做还要看编程时选择怎样的策略、数据结构。

快速矩阵、向量求导之维数相容大法已成。

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